Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)

Gọi $F$ là giao điểm của $OA$ và $BC$

Vì $AB$ và $AC$ lần lượt là 2 tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Nên $OB\bot AB$ và $OC\bot AC$

Ta có:

$OB=OC\left( =R \right)$

$AB=AC$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\to OA$ là đường trung trực của $BC$

$\to OA\bot BC$ tại $F$ và $F$ là trung điểm $BC$

$\to FB=FC=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12\left( cm \right)$

$\Delta OBF$ vuông tại $F$:

$O{{B}^{2}}=O{{F}^{2}}+F{{B}^{2}}$ (định lý Pitago)

$O{{F}^{2}}=O{{B}^{2}}-F{{B}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}=225-144=81$

$OF=9\left( cm \right)$

Áp dụng hệ thực lượng trong $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có $BF$ là đường cao, có:

$O{{B}^{2}}=OF.OA$

$OA=\frac{O{{B}^{2}}}{OF}=\frac{{{15}^{2}}}{9}=\frac{225}{9}=25\left( cm \right)$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ có:

$O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}$ (định lý Pitago)

$A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}={{25}^{2}}-{{15}^{2}}=625-225=400$

$AB=20\left( cm \right)$

 

b)

Vì $OA$ là đường trung trực của $BC$ và $OA$ cắt $BC$ tại $F$ nên:

$\Delta ABF=\Delta ACF$

$\to \widehat{ABF}=\widehat{ACF}$ (hai góc tương ứng)

Ta có

$\widehat{HBC}+\widehat{HCO}=90{}^\circ $

$\widehat{HCO}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{HBC}=\widehat{ACF}$

Mà $\widehat{ACF}=\widehat{ABF}$ (cmt)

$\to \widehat{HBC}=\widehat{ABF}$

$\to BC$ là tia phân giác $\widehat{ABH}$

c)

Ta có: $\Delta CBD$ nội tiếp đường tròn $O$ có đường kính $CD$ nên $\Delta BCD$ vuông tại $B$

$\to CB\bot ED$ tại $B$

Ta có

$\widehat{AEB}+\widehat{ECB}=90{}^\circ \left( CB\bot ED \right)$

$\widehat{ECB}+\widehat{BCO}=90{}^\circ \left( AC\bot CO \right)$

$\to \widehat{AEB}=\widehat{BCO}$

Mà $\widehat{BCO}=\widehat{OBC}$($\Delta OBC$ cân tại $O$, $OB=OC\left( =R \right)$

$\to \widehat{AEB}=\widehat{OBC}$

$\widehat{OBC}+\widehat{CBA}=90{}^\circ \left( AB\bot OB \right)$

$\widehat{CBA}+\widehat{ABE}=90{}^\circ \left( CB\bot ED \right)$

$\to \widehat{OBC}=\widehat{ABE}$

Mà $\widehat{OBC}=\widehat{AEB}$ (cmt)

$\to \widehat{ABE}=\widehat{AEB}$

$\to \Delta ABE$ cân tại $A$

$\to AE=AB$

Mà $AB=AC$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\to AE=AC$

$\to E$ là trung điểm $AC$

Ta có: $BH//EC$ (cùng vuông góc với $CD$)

$\Delta DAE$ có $BI//AE$

$\to \frac{DI}{DA}=\frac{BI}{AE}$ (định lý Talet)

$\Delta DAC$ có $IH//AC$

$\to \frac{DI}{DA}=\frac{HI}{AC}$ (định lý Talet)

$\to \frac{BI}{AE}=\frac{HI}{AC}$

Mà $AE=AC$ (cmt)

Vậy $BI=HI$