Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BD,CE$ là đường cao $\Delta ABC$
$\to\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to B,E,D,C\in$ đường tròn đường kính $BC$

$\to$Tâm $O$ của đường tròn là trung điểm $BC$

b.Xét $\Delta AEC,\Delta ADB$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to\Delta AEC\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to AE.AB=AD.AC$ 

c.Ta có $\Delta AEH,\Delta ADH$ vuông tại $E,D$

Vì $I$ là trung điểm $AH$

$\to IA=IH=IE, IA=IH=ID$

$\to IE=ID$

$\to\Delta IDE$ cân tại $I$

Vì $I,M,O$ là trung điểm $AH,HC, BC$

$\to IM,OM$ là đường trung bình $\Delta AHC,\Delta HCB$

$\to IM//AC, OM//BH$

Mà $BH\perp AC\to OM\perp AC\to OM\perp IM$

d.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Từ câu c$\to ID=IH=IE=IA$

$\to \Delta IAD$ cân tại $I$

$\to\widehat{IDA}=\widehat{IAD}=\widehat{HED}=\widehat{CED}=\widehat{CBD}=\widehat{OBD}=\widehat{BDO}$

$\to\widehat{IOD}=\widehat{IDH}+\widehat{BDO}=\widehat{IDH}+\widehat{IDA}=\widehat{ADH}=90^o$

$\to ID\perp OD$

$\to ID$ là tiếp tuyến của $(O)$