Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Bài cấp 3, đã khó còn 10đ :v

Em làm theo kiểu mà em biết (nếu khác cách của cấp 3 thì anh tự chỉnh chứ em không biết đâu)

$u_{n+1}+\sqrt{2}=\dfrac{u_{n}+2}{u_{n}+1}+\sqrt{2}$

$⇔u_{n+1}+\sqrt{2}=\dfrac{(1+\sqrt{2})u_{n}+2+\sqrt{2}}{u_{n}+1}$

$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\dfrac{u_{n}+1}{u_{n}+\sqrt{2}}$

$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\left(1+\dfrac{1-\sqrt{2}}{u_{n}+\sqrt{2}}\right)$

$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1+\dfrac{2\sqrt{2}-3}{u_{n}+\sqrt{2}}$

$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}-1+\dfrac{2\sqrt{2}-3}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=(2\sqrt{2}-3)\left(\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)$

Đặt $x_{n}=\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$⇒\begin{cases}x_{1}=\dfrac{1}{u_{1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{-4+3\sqrt{2}}{4}\\x_{n+1}=(2\sqrt{2}-3)x_{n}\\\end{cases}$

$⇒x_{n}$ là cấp số nhân với công bội $q=2\sqrt{2}-3$

$⇒x_{n}=\dfrac{-4+3\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n-1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n}$

$⇒\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n}$

$⇒\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left[1-(2\sqrt{2}-3)^{n}\right]$

$⇒u_{n}+\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}$

$⇒u_{n}=\dfrac{2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}-\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)^{n}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}$

Trời thề luôn cái bài gì đâu á, tính toán loạn cả não