Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $0 \leq x \leq 1$

Với các số thực không âm $a;b$, ta sẽ chứng minh BĐT sau:

$\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$

Thật vậy, bình phương 2 vế ta được:

$⇔a+b+2\sqrt{ab} \geq a+b$

$⇔2\sqrt{ab} \geq 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 2 số bằng 0

Áp dụng:

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{x(1-x)} \geq \sqrt{x+1-x}+\sqrt{x(1-x)}$

$⇔\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{x(1-x)} \geq 1+\sqrt{x(1-x)} \geq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\left[ \begin{array}{l}x=0\\1-x=0\end{array} \right.$$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: $x=\{0;1\}$

Cách 2:

ĐKXĐ $0 \leq x \leq 1$

$⇔2(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+2\sqrt{x(1-x)}=2$

$⇔2(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+(x+1-x+2\sqrt{x(1-x)})=3$

$⇔2(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2=3$

$⇔(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})-3=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\\\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=-3<0(loại)\end{array} \right.$

$⇒\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1$

$⇔x+1-x+2\sqrt{x(1-x)}=1$

$⇔2\sqrt{x(1-x)}=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$