Giải thích các bước giải:

a.Gọi $MI\cap (O)=C, C\ne M$
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$
$\to MI$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to MC$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to \widehat{AMC}=\widehat{CMB}$
$\to CA=CB$
$\to C$ nằm chính giữa cung $AB$
$\to C$ cố định
$\to MI$ luôn đi qua điểm chính giữa cung $AB$ cố định
b.Ta có: $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AMB}=90^o\to \widehat{AMN}=90^o$
Mà $MA=MN$
$\to \Delta AMN$ vuông cân tại $M$
$\to \widehat{MNA}=45^o$
$\to \widehat{ANB}=180^o-\widehat{MNA}=135^o$
Mà:
$\widehat{AIB}=180^o-(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})=180^o-(\dfrac12\widehat{MAB}+\dfrac12\widehat{MBA})=180^o-\dfrac12(\widehat{MAB}+\widehat{MBA})=180^o-\dfrac12\cdot 90^o=135^o=\widehat{ANB}$
(vì $\Delta MAB$ vuông tại $M$)
$\to ABNI$ nội tiếp
c.Qua $A$ kẻ đường thẳng $AD$ vuông góc với $AB$ và cắt $BC=D$
$\to D$ cố định
Ta có: $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ABC}=45^o\to \widehat{ABD}=45^o$
Mà $DA\perp AB$
$\to \Delta ABD$ vuông cân tại $A$
$\to \widehat{ADB}=45^o=\widehat{MNA}$
$\to DANB$ nội tiếp
$\to \widehat{DNB}=\widehat{DAB}=90^o$
$\to DN\perp MB$
$\to$Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $MB$ luôn đi qua $D$ cố định