Đáp án: $D$

 

Giải thích các bước giải:

$BM=2AM=2(AB-BM)$

$\Leftrightarrow 3BM=2AB$

$\Leftrightarrow \dfrac{BM}{AB}=\dfrac{2}{3}$

$AN=3NC\Leftrightarrow \dfrac{AN}{NC}=3$

 Áp dụng Menelaus vào $\Delta ACM$, cát tuyến $BON$:

$\dfrac{BM}{BA}.\dfrac{OC}{OM}.\dfrac{NA}{NC}=1$

$\Rightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{OC}{OM}.3=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{OM}{OC}=2$

$AN=3NC=3(AC-AN)\Leftrightarrow 4AN=3AC\Leftrightarrow \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}$

$BM=2AM\Leftrightarrow \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{1}{2}$

Áp dụng Menelaus vào $\Delta ABN$, cát tuyến $COM$:

$\dfrac{CN}{CA}.\dfrac{OB}{ON}.\dfrac{MA}{MB}=1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{4}.\dfrac{OB}{ON}.\dfrac{1}{2}=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{OB}{ON}=8$

Vậy $\dfrac{OM}{OC}+\dfrac{OB}{ON}=2+8=10$

Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta sẽ chứng minh định lý $Menelaus$ như sau: Cho tam giác `A,B,C` với `D,E` nằm trên `BC,CA` và `F ` nằm trên đường thẳng chứa `AB` sao cho `D,E,F` thẳng hàng thì `(FA)/(FB).(DB)/(DC).(EC)/(EA)=1`

Kẻ `MB////AC (M∈DE)`

`-> (AE)/(BM)=(AF)/(BF);(DB)/(DC)=(BM)/(EC) `

`-> (FA)/(FB).(DB)/(DC).(EC)/(EA)=(AE)/(BM).(BM)/(EC).(EC)/(EA)=1`

Áp dụng vào bài, ta có:

`(BM)/(AM).(CA)/(CN).(ON)/(OB)=1`

`->(2AM)/(AM).(NA+NC)/(NC).(ON)/(OB)=1`

`->2.4.(ON)/(OB)=1`

`->(OB)/(ON)=8`

`(NC)/(NA).(BA)/(BM).(OM)/(OC)=1`

`->(NC)/(3NC).(BM+AM)/(BM).(OM)/(OC)=1`

`->1/3 . 3/2 .(OM)/(OC)=1`

`->(OM)/(OC)=2`

`->(OB)/(ON)+(OM)/(OC)=8+2=10`