Đáp án:

`P_{\text{Min}}=9/5` 

Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử `a>=b>=c`

`+)` Nếu `c>=1/12` thì `a>=b>=1/12`

`=>\frac{3(12c - 1)(3c - 1)^2}{25(1+6c^2)}>=0`

`<=>\frac{1}{1+6c^2}+\frac{36c-27}{25}>=0`

`<=>\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-36c+27}{25}`

Tương tự, ta có:

`\frac{1}{1+6a^2}>=\frac{-36a+27}{25}`

`\frac{1}{1+6b^2}>=\frac{-36b+27}{25}`

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 

`P=\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-36a+27}{25}+\frac{-36b+27}{25}+\frac{-36c+27}{25}`

`=\frac{-36(a+b+c)+81}{25}=9/5`

`+)` Nếu `1/12>c>=0`

Ta có:

`\frac{1}{6b^2+1}-\frac{-24b+22}{25}=\frac{3(2b-1)^2(12b+1)}{25(6b^2+1)}>= 0`

`=>\frac{1}{6b^2+1}>=\frac{-24b+22}{25}` `(1)`

Tương tự, ta có:

`\frac{1}{6b^2+1}>=\frac{-24a+22}{25}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}>=\frac{-24(a+b)+44}{25}` `(3)`

Lại có:

`\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}-\frac{9}{5}=\frac{30c(24c^2-25c+4)}{125(6c^2+1)}>=0`

`=>\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}>=\frac{9}{5}` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)`

`=>P=\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-24(a+b)+44}{25}>=\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}>=\frac{9}{5}` 

`=>` Với mọi trường hợp thì GTNN của `P` là `9/5`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c=1/3` hoặc `a=b=1/2` `;` `c=0` và các hoán vị