Đáp án

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki dạng phân thức

Ta có

`A = a^2/(b - 1) + b^2/(c - 1) + c^2/(a - 1) ≥ (a + b + c)^2/[(a + b + c) - 3] = [(a + b + c - 6)^2 + 12[(a + b + c) - 3]]/[(a + b + c) - 3] = (a + b + c - 6)^2/(a + b + c - 3) + 12`

Do `a,b,c > 1 -> a + b + c > 3 -> a + b + c - 3 > 0`

`-> (a + b + c - 6)^2/(a + b + c - 3)  ≥ 0`

`-> (a + b + c - 6)^2/(a + b + c - 3)  + 12 ≥ 12`

`-> A ≥ 12`

Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 2`

__________________

Đăt `{b - 1 = x`

       `{c - 1 = y`             `(x,y,z ≥ 0)`

       `{a - 1 = z`

`-> {b = x + 1`

     `{c = y + 1`

     `{a = z + 1`

`-> {b^2 = (x + 1)^2`

     `{c^2 = (y + 1)^2`

     `{a^2 = (z + 1)^2`

`BĐT <=> (z + 1)^2/x + (x + 1)^2/y + (y + 1)^2/z`

Áp dụng BĐT Cô si

 `(z + 1)^2/x + (x + 1)^2/y + (y + 1)^2/z ≥ (2\sqrt{z})^2/x + (2\sqrt{x})^2/y + (2\sqrt{y})^2/z = (4z)/x + (4x)/y + (4y)/z = 4(z/x + x/y + y/z) (1)`

Áp dụng Cô si lần nx

` 4(z/x + x/y + y/z) ≥ ` $4 . 3\sqrt[3]{\dfrac{z}{x} . \dfrac{x}{y} . \dfrac{y}{z}} = 12 (2)$

Từ `(1)(2)`

`-> (z + 1)^2/x + (x + 1)^2/y + (y + 1)^2/z ≥ 12`

`-> a^2/(b - 1) + b^2/(c - 1) + c^2/(a - 1) ≥ 12`

Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 2`

Giải thích các bước giải: