Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Phản chứng: giả sử trong 2021 số nguyên dương không tồn tại 2 số nào bằng nhau.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{2021}$

Mà $a_{1};a_{2};...;a_{2021}$ nguyên dương

$⇒\begin{cases}a_{1}\geq 1\\a_{2} \geq 2\\...\\a_{2021} \geq 2021\end{cases}$

$⇒P=\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{2021}}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2021}}$ (1)

Với $n$ nguyên dương, ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}<\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

$⇒\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2021}}<1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2021}-\sqrt{2020})$

$⇔\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2021}}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+2(\sqrt{2021}-1)$

$⇔\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2021}}<2\sqrt{2021}-1<2\sqrt{2025}-1=89$ (2)

Từ (1); (2) $⇒P<89$ trái ngược với giả thiết $P \geq 89$

Vậy điều giả sử là sai hay trong 2021 số đó luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau