Đáp án:

${R_4} = 15\Omega $ 

Giải thích các bước giải:

 Khi K mở:

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:

$\begin{array}{l}
{R_{td}} = \dfrac{{\left( {{R_1} + {R_4}} \right).{R_2}}}{{{R_1} + {R_2} + {R_4}}} + {R_3} = \dfrac{{\left( {45 + {R_4}} \right).90}}{{45 + 90 + {R_4}}} + 45\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = \dfrac{{4050 + 90{R_4} + 6075 + 45{R_4}}}{{135 + {R_4}}}\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = \dfrac{{10125 + 135{R_4}}}{{135 + {R_4}}}
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:

${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{90\left( {135 + {R_4}} \right)}}{{10125 + 135{R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R4 là:
$\begin{array}{l}
{I_4} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_3} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{{90}}{{135 + {R_4}}}.\dfrac{{90\left( {135 + {R_4}} \right)}}{{10125 + 135{R_4}}}\\
 \Leftrightarrow {I_4} = \dfrac{{8100}}{{10125 + 135{R_4}}}
\end{array}$

Khi K đóng:

Điện trở R234 là:

${R_{234}} = {R_2} + \dfrac{{{R_3}.{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} = 90 + \dfrac{{45{R_4}}}{{45 + {R_4}}} = \dfrac{{4050 + 135{R_4}}}{{45 + {R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện R234 là:
${I_{234}} = \dfrac{U}{{{R_{234}}}} = \dfrac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{4050 + 135{R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R4 là:
$\begin{array}{l}
{I_4} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_3} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{{45}}{{45 + {R_4}}}.\dfrac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{4050 + 135{R_4}}}\\
 \Leftrightarrow {I_4} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}}
\end{array}$

Theo đề ta có:

$\begin{array}{l}
{I_4} = \dfrac{{8100}}{{10125 + 135{R_4}}} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}}\\
 \Leftrightarrow 8100 + 270{R_4} = 10125 + 135{R_4}\\
 \Leftrightarrow 135{R_4} = 2025 \Rightarrow {R_4} = 15\Omega 
\end{array}$