Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

$\Delta BEC$ vuông tại $E$và $\Delta BDC$ vuông tại $D$ có $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

Nên đường tròn tâm $O$ đi qua 4 điểm $B,E,D,C$

 

 

Đầu tiên dễ thấy là $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

Kẻ $AH$ cắt $BC$ tại $F$

$\to AF\bot BC$

 

 

Để chứng minh $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ thì phải chứng minh $IE\bot EO$

Tới đây thì suy luận như sau:

 

 

Giả sử ban đầu ta có được $IE\bot EO$ rồi:

Vậy thì $\widehat{IEH}+\widehat{HEO}=90{}^\circ$

Mà $\widehat{IEH}+\widehat{IEA}=90\circ$

$\to \widehat{HEO}=\widehat{IEA}$ (1)

Vậy bây giờ ta cần chứng minh 2 góc đó bằng nhau thì sẽ xong bài toán

Ta xem thử coi 2 góc đó cùng bằng 1 góc nào

 

 

Ta thấy $\Delta AEH$ vuông tại $E$ có $EI$ là đường trung tuyến nên $IE=IA$

$\to \Delta IEA$ cân tại $I$

$\to \widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ (2)

 

 

Đường tròn tâm $O$ đi qua 4 điểm $B,E,D,C$ nên $OE=OC$

$\to \Delta OEC$ cân tại $O$

$\to \widehat{HEO}=\widehat{ECO}$ (3)

 

Từ (1) (2) (3) ta thấy rằng $\widehat{IAE}=\widehat{ECO}$

Mà 2 góc đó có bằng nhau không?

Có tại vì nó cùng phụ $\widehat{ABF}$

 

Suy luận xong rồi thì làm từ dưới lên trên lại:

Cách giải:

Đầu tiên vẫn phải chứng minh $H$ là trực tâm trước rồi kẻ $AH$ cắt $BC$ tại F

Chứng minh đường tròn tâm $O$ đi qua 4 điểm $B.E.D,C$

Ta có $\Delta OCE$ cân tại $O$

$\to \widehat{ECO}=\widehat{HEO}$

$\Delta AEH$ vuông tại $E$ có $EI$ là đường trung tuyến nên $IE=IA$

$\to IEA$ cân tại $I$

$\to \widehat{IEA}=\widehat{IAE}$

Ta có:

$\widehat{ECO}=\widehat{HEO}$ (cmt)

$\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ (cmt)

$\widehat{ECO}=\widehat{IAE}$ (cùng phụ góc $\widehat{ABF}$

Nên $\widehat{HEO}=\widehat{IEA}$

Mà $\widehat{IEA}+\widehat{IEH}=90{}^\circ $

Do đó $\widehat{HEO}+\widehat{IEH}=90{}^\circ $

Vậy $IE\bot EO$

Hay nói cách khác $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$