Đáp án:

Chọn B.  

Giải thích các bước giải:

Đặt \(AC = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Gọi H là trung điểm của AC ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHB} \right)\).

Gọi E là trung điểm của SB ta có \(AE = CE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì tam giác EAC cân tại E nên \(EH \bot AC\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(HE = \sqrt {C{E^2} - C{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \).

Ta có:  \({V_{ABCD}} = {V_{C.SHB}} + {V_{A.SHB}} = \dfrac{1}{3}AC.{S_{SHB}} = \dfrac{1}{3}x\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} .\dfrac{a}{2}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(x\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = 2.\dfrac{x}{2}\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  \le \left( {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right) = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Vậy \({V_{ABCD\,\,\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^2}}}{4} = \dfrac{{2{x^2}}}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn B.