Bài tập 1:

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ ta có:

$AC^2=CH.CB\Rightarrow CB=\dfrac{AC^2}{CH}=\dfrac{3^2}{1,8}=5$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago vào $\delta $ vuông $ABC$ ta có:

$AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=5^2-3^2=16$

$\Rightarrow AB=4$

$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=36,87^o$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=53,13^o$

b) Hạ $DE\bot AC$ và $DI\bot AB$

$\Rightarrow $ tứ giác $IDAE$ là hình vuông vì có 3 góc bằng $90^o$ và đường chéo $AD$ là phân giác góc $\widehat A$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $DEC$ và $\Delta $ vuông $BID$

$\tan \widehat C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{EC+AE}=\dfrac{4}{3+4}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{4}{7}$

$\Rightarrow AE=\dfrac{4.AC}{7}=\dfrac{12}{7}$

$\Rightarrow AD^2=AE^2=IA^2+AE^2=2AE^2=2.(\dfrac{12}{7})^2=\dfrac{288}{49}$

$\Rightarrow AD=\dfrac{12\sqrt2}{7}$

Bài tập 2: a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABH$ và $\Delta ACH$ ta có:

$AH^2=AM.AB$

$AH^2=AN.AC$

$\Rightarrow AM.AB=AN.AC$