a) Ta có tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=> Tam giác AMB là tam giác vuông tại M.

Hay AM vuông góc với BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AM ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}}\\ \Leftrightarrow AM = 4,8\,\,cm.\end{array}\)

b) Xét tam giác ABC ta có:

O là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

=> ON là đường trung bình của tam giác ABC.

=> ON // BC

Mà BC vuông góc với AM (cm a))

=> ON vuông góc với AM (từ song song đến vuông góc).

c) Ta có: Tam giác OMA là tam giác cân tại O (do OM = OA)

Lại có: ON vuông góc với AM tại H (cmt)

=> ON là phân giác của góc AOM (tính chất tam giác cân)

=> Góc AON = góc NOM.

Xét tam giác ANO và tam giác MNO ta có:

AO = OM (= R)

Góc AON = góc MON (cmt)

ON chung

=> Tam giác ANO = tam giác MNO (c-g-c).

=> góc OMN = góc NAO = 90 độ

Hay OM vuông góc với MN

=> MN là tiếp tuyến của (O).