a. Vì $\widehat{DAE} =90^o$

$ME⊥AC$ (giả thiết) $\Rightarrow\widehat{MEA}=90^o$

$MD⊥AB$ (giả thiết) $\Rightarrow\widehat{MDA}=90^o$

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết)

b. Giả sử $ADME$ là hình vuông 

Khi đó $AM$ là tia phân giác của $\widehat{DAE}$

$\Delta ABC$ khi đó có $AM$ vừa là đường tring tuyến vừa là đường phân giác, nên $\Delta ABC$ cân đỉnh $ A$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $ADME$ là hình vuông.

c. Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABC$ vuông ở $A$

$BC²=AB²+AC² =8²+6²=100$

$\Rightarrow  BC=10$cm

$AM=BM=\dfrac{BC}{2} =\dfrac{10}{2} =5$cm

d.

$S_{ABM} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}$ (vì chung chiều cao hạ từ $A$, đáy $BM=\dfrac{BC}2$)

$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.AB.AC $

$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.8.6 = 12cm^2$.