Đáp án+Giải thích các bước giải:

Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `EF`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`\hat{BAC}=\hat{AEH}=\hat{AFH}=90^0` $\text{(gt)}$

`=>AEHF` là hình chữ nhật `(`dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật`)`

`=>OA=OE=OF` `(`tính chất hình chữ nhật`)`

Ta có: `OA=OF` `(cmt)`

`=>\triangleOAF` cân tại `O`

`=>\hat{F_{1}}=\hat{OAF}` `(`tính chất tam giác cân`)`

Mà `\hat{F_{1}}+\hat{A_{1}}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

      `\hat{OAF}+\hat{ACB}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

`=>\hat{A_{1}}=\hat{ACB}`

`=>\triangleAMC` cân tại `M`

`=>AM=CM` `(`tính chất tam giác cân`)` `(1)`

Lại có: `OA=OE` `(cmt)`

`=>\triangleOAE` cân tại `O`

`=>\hat{A_{2}}=\hat{E_{1}}` `(`tính chất tam giác cân`)`

Mà `\hat{E_{1}}+\hat{MAB}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

      `\hat{A_{2}}+\hat{ABC}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

`=>\hat{MAB}=\hat{ABC}`

`=>AMB` cân tại `M`

`=>AM=BM` (tính chất tam giác cân) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy được: `BM=CM` `(=AM)` hay `M` là trung điểm của `BC`

Vậy `M` là trung điểm của `BC` `(đpcm)`

 

Gọi `AH∩EF={O}`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`hat{AEH}=hat{EAF}=hat{AFH}=90^o`

`⇒` tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật(tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật)

`⇒OA=OE=OF`(tính chất hình chữ nhật)

Ta có:`OA=OE(cmt)`

`⇒ΔOAE` cân tại `O`

`⇒hat{E_1}=hat{OAE}`(tính chất `Δ` cân)

Mà `hat{E_1}+hat{A_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

        `hat{OAE}+hat{B}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{A_1}=hat{B}`

`⇒ΔABM` cân tại `M`

`⇒AM=BM`(tính chất `Δ` cân)`(1)`

Ta có:`OA=OF(cmt)`

`⇒ΔOAF` cân tại `O`

`⇒hat{F_1}=hat{A_2}`(tính chất `Δ` cân)

Mà `hat{F_1}+hat{MAC}=90^o(2` góc phụ nhau)

        `hat{A_2}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{MAC}=hat{C}`

`⇒ΔACM` cân tại `M`

`⇒AM=CM`(tính chất `Δ` cân)`(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BM=CM`

                       `⇒M` là trung điểm của `BC(đpcm)`