Giải thích các bước giải:

a. Kẻ OE⊥AD tại E

Vì ABCD là hình thoi -> AO là tia phân giác của góc BAD

Xét ΔAFO và ΔAEO có:

góc FAO=góc EAO (vì AO là tia phân giác)

AO chung

góc AFO=góc AEO =90

-> ΔAFO = ΔAEO (cạnh huyền - góc nhọn)

-> OF=OE 

-> E thuộc đường tròn (O,OF)

mà OE⊥AD tại E

-> AD tiếp xúc với (O,OF)

Chứng minh tương tự ta được BC,DC tiếp xúc với (O,OF)

-> đpcm

b. Vì ABCD là hình thoi 

-> AB=AD -> ABD là tam giác cân ở A
mà AO là đường cao

-> AO là đường trung trực

-> AO đi qua tâm ngoại của tam giác ABD

mà K∈AO, K ∈đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

-> AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

B∈đường tròn đường kính AK

-> KB⊥AB

mà AB//CD -> KB⊥CD

Xét ΔBCD có đường cao BK,CO

mà CO và BK giao nhau tại K

-> K là trực tâm của tam giác BCD (đpcm)

c.

i. Vì tam giác ABD cân ở A mà góc BAD=60 

-> tam giác ABD đều -> AB=BD=AD=a

O là trung điểm BD -> OB=$\frac{a}{2}$ 

Xét tam giác OAB vuông ở O

-> OA²=AB²-OB²=$\frac{3a^2}{4}$  -> OA=$\frac{a√3}{2}$

mà O là trung điểm AC -> AC=a√3

\({S_{ABCD}} = AC.DB = a\sqrt 3 .a = {a^2}\sqrt 3 \)

ii. Giả sử G là trọng tâm tam giác ABD

mà tam giác ABD đều -> G là tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác ABD

AG=$\frac{2}{3}$ .AO=$\frac{2}{3}$.$\frac{a√3}{2}$=$\frac{a√3}{3}$

-> AK=2.AG=$\frac{2a√3}{3}$

-> OK=AK-AO=$\frac{a√3}{6}$

-> $\frac{AO}{OK}$ =3 (1)

KC=AC-AK=$\frac{a√3}{3}$

-> $\frac{AC}{CK}$ =3 (2)

Từ (1),(2) -> $\frac{AO}{OK}$= $\frac{AC}{CK}$ (đpcm)