Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ptrinh đã cho tương đương vs

$x^2 - 4mx + 4m^2 - m + |x-2m| = 0$     (1)

$\Leftrightarrow (x-2m)^2 + |x-2m| - m = 0$

$\Leftrightarrow |x-2m|^2 + |x-2m| - m = 0$

Đặt $t = |x-2m|$, $t \geq 0$. Khi đó ptrinh trở thành

$t^2 + t - m = 0$     (2)

Khi đó, để ptrinh (1) có nghiệm thì ptrinh (2) phải có nghiệm dương.

Ta có

$\Delta = 1 + 4m$

TH1: $\Delta < 0$ hay $m < -\dfrac{1}{4}$

Khi đó ptrinh (2) vô nghiệm, từ đó suy ra ptrinh (1) vô nghiệm.

TH2: $\Delta = 0$ hay $m = -\dfrac{1}{4}$

Khi đó ptrinh trở thành

$t^2 + t + \dfrac{1}{4} = 0$

$\Leftrightarrow \left(t + \dfrac{1}{2} \right)^2 = 0$

Do $t \geq 0$ nên $VT >0$. Vậy ptrinh vô nghiệm.

TH3: $\Delta > 0$ hay $m > -\dfrac{1}{4}$

Khi đó $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt là $t_1$ và $t_2$. Theo Viet ta có

$t_1 + t_2 = -1, t_1 t_2 = -m$

TH3.1: (2) có 2 nghiệm âm

Điều này tương đương vs tổng âm và tích dương. Do đó

$-m > 0$

$\Leftrightarrow m < 0$

Khi đó, ptrinh (1) vô nghiệm.

TH3.2: (2) có 2 nghiệm trái dấu

Khi đó tích của chúng âm, tức là

$-m < 0$

$\Leftrightarrow m > 0$

Khi đó, một nghiệm dương của (2) sẽ cho ta 2 nghiệm của (1).

Do tổng 2 nghiệm của (2) là số âm, nên ko thể xảy ra trường hợp cả 2 nghiệm của (2) đều dương.

Tóm lại, ta có

- $m \leq -\dfrac{1}{4}$: phương trình vô nghiệm.

- $m> 0$: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

- $m = 0$: phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.