a,

$SA\bot (ABCD)$

$\Rightarrow SA\bot AB, SA\bot AD$

$\Delta SAB$ vuông cân tại $A$ có $AH$ trung tuyến nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow SB\bot AH$      (1)

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $BD=a\sqrt2$

$SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt2$

$\Delta SBD$ cân tại $D$ có $DH$ là trung tuyến nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow SB\bot DH$     (2)

(1)(2) $\Rightarrow SB\bot (DAH)$

$\Delta SBD$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM//SB$

Vậy $OM\bot (ADH)$

b,

$(\alpha)$ là $(ADH)$

Có $AD//BC$

$\Rightarrow (ADH)\cap (SBC)=Hx//BC$

$Hx\cap SC=K$

Vậy thiết diện là tứ giác $HKDA$

$HK//BC$, $H$ là trung điểm $SB$ nên $HK$ đường trung bình $\Delta SBC$

$\Rightarrow HK=0,5a$

$\Delta SAB$ vuông cân tại $A$, $AH$ trung tuyến.

$\Rightarrow AH=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Có $DA\bot AS, DA\bot AB$

$\Rightarrow DA\bot (SAB)$

$\Rightarrow HA\bot AD$

Vậy $HKDA$ là hình thang vuông tại $H$ và $A$ ($HK//AD$)

$\Rightarrow S_{HKDA}=\dfrac{1}{2}.\Big(0,5a+a).\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{3a^2\sqrt2}{8}$