Từ $A$ kẻ đường kính $AD$

$\to \widehat{ABD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\to ∆ABD$ vuông tại $D$

$\to \sin\widehat{ADB}=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{c}{2R}$

$\to \dfrac{c}{\sin\widehat{ADB}}=2R$

Ta lại có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\to \sin\widehat{ADB}=\sin\widehat{ACB}=\sin C$

Do đó ta được:

$\dfrac{c}{\sin C}= 2R$

Từ $B$ và $C$ lần lượt kẻ các đường kính tương ứng và cách chứng minh hoàn hoàn tương tự như trên, ta được:

$\dfrac{b}{\sin B} = 2R$

$\dfrac{a}{\sin A}= 2R$

Vậy:

$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}= 2R}$$

+ Kéo dài OA cắt (O) tại D.

+ Do OA là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B. 

=> sin$\widehat{BDA}$=$\frac{BA}{AD}$=$\frac{c}{2R}$

+ Mà $\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{C}$ (cùng chắn cung AB).

+ Do đó sinC = sin$\widehat{BDA}$=$\frac{c}{2R}$ <=> $\frac{c}{sinC}$ =2R.

+ Tương tự, kẻ đường kính B, C ta thu được: 

$\frac{b}{sinB}$ = 2R

$\frac{c}{sinC}$ = 2R

+ Vậy: $\frac{a}{sinA}$ =$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$ = 2R (đpcm).