Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: Tham khảo 

Nhận xét Vế trái là một tam thức bậc 2 theo biến $x$
có dạng $ Ax^{2} + Bx + C$

Với $A; B; C $ là các hằng số theo $ a; b; c$

Lần lượt thay $ x = a; b; c$ vào biểu thức ở vế trái ta có:

$  Aa^{2} + Ba + C = 1 (1)$

$  Ab^{2} + Bb + C = 1 (2)$

$  Ac^{2} + Bc + C = 1 (3)$

$ (1) - (2)$ và chú ý$ (a - b \neq 0)$

$ (a - b)[(a + b)A + B] = 0 => (a + b)A + B = 0 (4)$

$ (2) - (3) (b - c \neq 0)$

$ (b - c)[(b + c)A + B = 0 => (b + c)A + B = 0 (5)$

$ (5) - (4) : (c - a)A = 0 => A = 0 (c - a \neq 0) => B = 0$

$ => C = 1 => Ax^{2} + Bx + C = 1 $ với mọi $x (đpcm)$

 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức sau:

`[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]=[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(c-a)]+[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(b-a)]`

Ta có:

`[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(c-a)]+[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(b-a)]`

`=[(x-c)(x-a)]/[(c-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(b-a)]`

Đặt `(x-c)(x-a)=S`

`=> [S(b-a)]/[(b-a)(c-b)(a-c)]+[S(c-b)]/[(b-a)(c-b)(a-c)]`

`=[S(b-a+c-b)]/[(b-a)(c-b)(a-c)]`

`=[S(c-a)]/[(b-a)(c-b)(a-c)]`

`=-[(x-c)(x-a)]/[(b-a)(c-b)]`

`=[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]`

Đặt biểu thức cần chứng minh là `S_1`

Ta có:

`S_1=[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(c-a)]+[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(b-a)]`

`=[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(b-a)]+[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(c-a)]`

`=[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]-[(x-c)(x-a)]/[(a-c)(a-b)]+[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]-[(x-c)(x-a)]/[(c-b)(c-a)]`

`=[(x-b)(x-c)-(x-c)(x-a)]/[(a-c)(a-b)] + [(x-a)(x-b)-(x-c)(x-a)]/[(c-a)(c-b)]`

`=[(x-c)(x-b-x+a)]/[(a-c)(a-b)]+[(x-a)(x-b-x+c)]/[(c-a)(c-b)]`

`=[(x-c)(a-b)]/[(a-c)(a-b)]+[(x-a)(c-b)]/[(c-a)(c-b)]`

`=(x-c)/(a-c)+(x-a)/(c-a)`

`=(x-c)/(a-c)-(x-a)/(a-c)`

`=(x-c-x+a)/(a-c)`

`=(a-c)/(a-c)`

`=1`

`=> đpcm`