$M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}AD$

Có $BM//AD$ nên ta có:

$\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{BM}{AD}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{2}{3}$

Mà $\dfrac{AJ}{AS}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow IJ//SM$

$SM\subset (SBC)$

$\to IJ//(SBC)$

Gọi $AM\cap QN=\{K\}$

Ta có:

$AQ =QD =\dfrac12AD\quad (gt)$

$AN = NB=\dfrac12AB\quad (gt)$

$\to QN$ là đường trung bình của $∆ABD$

$\to QN//BD$

$\to KN//BI$

mà $AN = NB =\dfrac12AB$

nên $AK = KI =\dfrac12AI\quad (1)$

Mặt khác:

$\widehat{AQK}=\widehat{ADB}$ (đồng vị)

$\widehat{ADB}=\widehat{DBC}=\widehat{IBM}$ (so le trong)

$\to \widehat{AQK}=\widehat{IBM}$

$AQ = QD =\dfrac12AD$

$BM =MC =\dfrac12BC$

$AD = BC$

$\to AQ = BM$

Xét $∆AQK$ và $∆MBI$ có:

$\widehat{AQK}=\widehat{IBM}\quad (cmt)$

$AQ = BM\quad (cmt)$

$\widehat{QAK}= \widehat{BMI}$ (so le trong)

Do đó $∆AQK =∆MBI\, (g.c.g)$

$\to AK = MI\quad (2)$

$(1)(2)\to AK = KI = MI$

$\to AI = 2MI$

$\to \dfrac{AI}{MI}= 2$

Trong $mp(SAM)$ có:

$AJ = 2JS\quad (gt)$

$\to \dfrac{AJ}{SJ}= 2$

Lại có: $\dfrac{AI}{MI}= 2\quad (cmt)$

$\to IJ//SM$ (theo định lý $Thales$ đảo)

mà $SM\subset (SBC)$

nên $IJ//(SBC)$