Đáp án:

$y=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{7}{2}$

Giải thích các bước giải:

 Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0;y_0)$ là :

$y=y'(x_0).(x-x_0)+y_0$

$y=\dfrac{-4}{(x_0-2)^2}.(x-x_0)+\dfrac{x_0+2}{x_0-2}$

Gọi $A\in y=2$ có toạ độ là $A(a;2)$, do A thuộc tiếp tuyến nên ta có :

$2=\dfrac{-4}{(x_0-2)^2}.(a-x_0)+\dfrac{x_0+2}{x_0-2}(x_0\neq 2)$

$2.(x_0-2)^2=-4(a-x_0)+(x_0+2).(x_0-2)$

$2(x_0^2-4x_0+4)=-4a+4x_0+x_0^2-4$

$2x_0^2-8x_0+8+4a-4x_0-x_0^2+4=0$

$x_0^2-12x_0+4a+12=0(1)$

Để từ điểm đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến thì :

TH1: phương trình $(1)$ có nghiệm kép;

$\begin{cases}\Delta'=0\\\dfrac{-b'}{a}\neq 2\end{cases} $

$\begin{cases}(-6)^2-(4a+12)=0\\\dfrac{-6}{1}\neq 2\end{cases} $

$\to 36-4a-12=0$

$\Leftrightarrow -4a=-24$

$\to a=6$

TH2: Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm bằng 2 :

$\begin{cases}\Delta'>0\\(2)^2-12.2+4a+12=0\end{cases} $

$\begin{cases}(-6)^2-(4a+12)>0\\4a-8=0\end{cases} $

$\begin{cases}-4a+24>0\\4a-8=0\end{cases} $

$\begin{cases}a<6\\a=2(loại)\end{cases} $

Với $a=6$ thì ta được điểm $A(6;2)$

Thay vào $(1)$ ta có :

$x_0^2-12x_0+4.6+12=0(1)$
$\to x=6$

Với $x=6$ thì $y=\dfrac{6+2}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2$

$y'(6)=\dfrac{-4}{(6-2)^2}=\dfrac{-1}{4}$

PTTT cần tìm là :

$y=\dfrac{-1}{4}.(x-6)+2=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{7}{2}$