a) Tứ giác $DHEA$ có $\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=\widehat{HEA}=90^o$

$\Rightarrow $ tứ giác $DHEA$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow DE=AH$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ ta có:

$AH^2=BH.CH=4.9=36$

$\Rightarrow DE=AH=6$ cm.

b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABH$ và $\Delta $ $AHC$ ta có:

$AH^2=AD.AB$

và $AH^2=AE.AC$

$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$

c) $\Delta DBH$ vuông tại $D$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$

$\Rightarrow MH=MD\Rightarrow \Delta DMH$ cân đỉnh $M$

$\Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{MHD}$ (1)

Gọi $DE\cap AH=I\Rightarrow \Delta IHD$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{HDI}=\widehat{DHI}$ (2)

Từ (1) và (2): $\widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{HDI}=\widehat{MHD}+\widehat{DHI}=\widehat{MHI}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{MDE}=90^o\Rightarrow DM\bot DE$

Tương tự $\widehat{DEN}=90^o\Rightarrow EN\bot DE$

$\Rightarrow DM\parallel EN(\bot DE)$

$\Rightarrow$ tứ giác $DMNE$ là hình thang vuông.

$\Delta DBH$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH\Rightarrow MB=MD$

Tương tự $NE=NC$

$DM+EN=BM+NC=\dfrac{BH}{2}+\dfrac{CH}{2}=\dfrac{BH+CH}{2}=\dfrac{4+9}{2}=\dfrac{13}{2}$

$\Rightarrow S_{DMNE}=\dfrac{(DM+EN).DE}{2}=\dfrac{\dfrac{13}{2}.6}{2}=19,5$