Giải thích các bước giải:

a. Vì CM, CA là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ C

-> CM=CA

Vì DM, DB là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ D

-> DM=DB

Ta có: CM+DM=DC

-> AC+BD=DC (đpcm)

Vì CA=CM , OA=OM

-> OC là đường trung trực của AM

mà tam giác OAM cân tại O (OM=OA)

-> OC là đường phân giác

-> 2. góc COM= góc AOM

Vì DM=DB , OB=OM

-> OD là đường trung trực của BM 

mà tam giác OBM cân tại O (OM=OB)

-> OD là đường phân giác

-> 2. góc DOM= góc BOM

góc AOM+ góc BOM=180

<-> 2. góc COM + 2. góc DOM=180

<-> góc DOC=90

-> tam giác DOC vuông tại O (đpcm)

b. Tam giác DOC vuông tại O có đường cao OM

-> Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

-> OM²=MC.MD

-> R²=AC.BD (đpcm)

c. Gọi E là trung điểm của CD

Tam giác OCD vuông tại O có đường trung tuyến OE
-> OE=CE=DE

-> E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC hay đường tròn đường kính DC

Vì DB=DM -> tam giác DMB cân ở D mà DO là đường trung trực

-> DO là đường phân giác

-> góc MDO= góc BDO

mà góc EOD = góc EDO ( tam giác ODE cân ở E)

-> góc BDO= góc EOD 

mà góc BDO + góc DOB =90

-> góc EOD + góc DOB =90

<-> gó EOB =90

-> OE⊥AB 

-> AB là tiếp tuyến của (E) 

hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC (đpcm)

d. góc OMC + góc OAC = 90+90=180

-> OMCA là tứ giác nội tiếp -> góc MOA+góc MCA=180

Vì OM=BM=OB=R

-> tam giác OBM đều

-> góc MOB=60 -> góc AOM =180-60=120

-> góc MCA=180-120=60

mà tam giác ACM cân ở C (CA=CM)

-> tam giác ACM đều 

Tam giác AMB vuông ở M

-> AM²=AB²-BM²=(2R)²-R²=3R² -> AM=R√3

-> AM=CM=CA=R√3

Gọi F là trung điểm của MA -> CF⊥MA

AF=$\frac{AM}{2}$ =$\frac{R√3}{2}$ 

Tam giác ACF vuông tại F -> CF²=AC²-AF²=$\frac{9R²}{4}$

-> CF=$\frac{3R}{2}$

-> $S_{ABC}$ =$\frac{1}{2}$ .CF.AM=$\frac{1}{2}$ .$\frac{3R}{2}$.R√3=$\frac{3√3R^2}{4}$