Đáp án:

a) Xét tam giác ABC có O là trung điểm của BC và OA=OB=OC

=> ΔABC vuông tại A (t.c)

b)

Do OM//AB nên:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {COM} = \widehat {CBA}\\
\widehat {MOA} = \widehat {OAB}
\end{array} \right.\\
Do:\widehat {CBA} = \widehat {OAB} \Rightarrow \widehat {COM} = \widehat {MOA}
\end{array}$

Xét ΔIAO và ΔICO có:

+) AO=CO

+) góc IOA = góc IOC

+) IO chung

=> ΔIAO = ΔICO (c-g-c)

=> góc IAO = góc ICO =90

=> IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)

c)

Gọi H là giao điểm của AC và OI

=> H là trung điểm của AC => CH=4 cm

BC=10 => OC=5 cm

Xét tam giác OCI vuông tại C có CH là đường cao

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{O^2}}} + \frac{1}{{C{I^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{C{I^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}}\\
 \Rightarrow C{I^2} = \frac{{400}}{9}\\
 \Rightarrow O{I^2} = C{I^2} + C{O^2} = \frac{{400}}{9} + {5^2} = \frac{{625}}{9}\\
 \Rightarrow OI = \frac{{25}}{3}\left( {cm} \right)
\end{array}$