Phương án $1$

Gọi $T_n$ (triệu đồng) là số tiền nhận được năm thứ $n$ $(T_n\ge 36;n\in N$*)

+) Năm đầu tiên: `T_1=36`

+) Năm thứ $2$: `T_2=36+3`

+) Năm thứ $3$: `T_3=36+3.2`

…

+) Năm thứ $n$: `T_{n}=36+3(n-1)`

Tổng số tiền nhận được sau $n$ năm là $CSC$ có số hạng đầu $T_1=36$, công sai $d=3$

`T=36+(36+3.1)+(36+3.2)+...+[36+3.(n-1)]`

`T=nT_1+{n(n-1)}/2 .d=36n+ 3/ 2 n(n-1)`

`T=3/ 2 n^2+ {69}/2 n`

Phương án $2$:

$500000=0,5$ triệu.

Gọi $S_m$ (triệu đồng) là số tiền nhận được quý thứ $m$ $(S_m\ge 7;m\in N$*;$m\ge 4$)

+) Quý đầu tiên: `S_1=7`

+) Quý thứ $2$: `S_2=7+0,5`

+) Quý thứ $3$: `S_3=7+0,5.2`

…

+) Quý thứ $m$: `S_{m}=36+3(m-1)`

Tổng số tiền nhận được sau $m$ quý là $CSC$ có số hạng đầu $S_1=7$, công sai $d=0,5$

`S=7+(7+0,5)+(7+0,5.2)+...+[7+0,5.(n-1)]`

`S=mS_1+{m(m-1)}/2 .d`

`S=7m+ 1/ 4 m(m-1)`

$1$ năm có $4$ quý

Tổng số tiền nhận được sau $n$ năm tương ứng $m=4n$:

`S=7.4n+1/ 4 .4n.(4n-1)`

`S=28n+n(4n-1)` `S=4n^2+27n`

Ta có: `S-T=4n^2+27n-3/ 2 n^2-{69}/2 n`

`=5/ 2 n^2- {15}/2 n=5/ 2 n (n-3)>0 \forall n>3`

Vậy nếu là người lao động dự định làm dài hạn trên $3$ năm thì nên chọn phương án $2$