* Giới hạn tại vô cực ($x\to +\infty, x\to -\infty$): hay áp dụng các cách như:

1. Rút $x$ với số mũ lớn nhất ra làm nhân tử chung.

2. Chia cả tử và mẫu cho số mũ lớn nhất của $x$ (nếu có phân thức)

3. Nhân liên hợp (dành cho dạng vô định)

Sử dụng các quy tắc:

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^k}=0$ (với $k\in\mathbb{N^*}$)

$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{n^k}=0$ (với $k\in\mathbb{N^*}$)

Với giới hạn hữu hạn: áp dụng các quy tắc của giới hạn hữu hạn như cộng $\lim$, trừ $\lim$ (sgk)

* Ví dụ:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+x}{x^3-5}$

$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{5}{x^3}}$ (chia cả tử và mẫu cho $x^3$, hay rút $x^3$ ở cả tử và mẫu rồi rút gọn)

$=\dfrac{0+0}{1-0}=0$

2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{5+x^2}}{x+1}$

$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-x\sqrt{\dfrac{5}{x^2}+1} }{x+1}$ (do $x\to -\infty$ nên $x<0$. Do đó đưa $x^2$ ra ngoài căn phải để dấu âm, $\sqrt{x^2}=|x|$)

$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-\sqrt{\dfrac{5}{x^2}+1 }}{1+\dfrac{1}{x}}$

$=\dfrac{-\sqrt1}{1}=-1$

3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2-5}-\sqrt{x^2+6})$

Nhận thấy khi rút $x^2$ ra căn thì có dạng vô định $0.\infty$ nên phải nhân liên hợp. 

Nhân liên hợp là áp dụng $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ hoặc $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ hoặc $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

Liên hợp ta được:

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{ x^2-5-(x^2-6) }{\sqrt{x^2-5}+\sqrt{x^2-6}}$ 

$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{ 1}{\sqrt{x^2-5}+\sqrt{x^2-6}}$ 

Đến đây lại rút $x^2$, đưa ra căn. 

Dạng 1: Giới hạn hàm phân thức 

* Phương pháp : Rút bậc cao nhất của tử và mẫu 

$\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ 

- Nếu bậc tử < bậc mẫu $\to \lim=0$

- Nếu bậc tử = bậc mẫu $\to \lim = \dfrac{a_1}{a_2}$ ( với $a_1,a_2$ là hệ số của bậc lớn nhất 

- Nếu bậc tử > mẫu $\to \lim = \infty$ 

VD : $\lim\dfrac{3n+2}{n^2+n+1}$

$=\lim\dfrac{3+\dfrac{2}{n}}{n(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$

$=\lim\dfrac{3}{n}=0$

Vì $\lim\dfrac{2}{n}=0......$(giải thích từng giới hạn) 

Dạng 2: Nhân lượng liên hợp 

Cơ sở : $\begin{cases} a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^3)\end{cases}$

*Nhìn vào hệ số (1:1)*

VD : (hình 2)

Dạng 3: Giới hạn vô cực 

VD : $\lim\dfrac{-n^3+n+2}{2n^2+1}$

$= \lim\dfrac{-n+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{2+\dfrac{1}{n^2}}$

Vì $\begin{cases} \lim(-n+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2})=-\infty \\\lim(2+\dfrac{1}{n^2})=2>0\end{cases}$

$\longrightarrow \lim=-\infty$ 

Dạng 4: Giới hạn các dãy số khác 

VD:(hình 3)