a) $F$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $HC$

Tứ giác $AHBC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow $ tứ giác $AHBC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AH\parallel BC$ hay $AI\parallel BD$ (1)

Ta có: $DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow DE\parallel AB$ hay $DI\parallel AB$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ tứ giác $AIDB$ là hình bình hành.

b) Ta có: $BC\parallel AH$ (cm câu a)

Hay $BD\parallel HI$

$\Rightarrow BDIH$ là hình thang (*)

Ta có $\Delta ABC$ và $\Delta BAH$ có:

$AB$ chung

$AC=BH$ (do AHBC là hình bình hành chứng minh ở câu a)

$BC=AH$ (do AHBC là hình bình hành chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta BAH$ (c.c.c)

$\Delta ABC$ cân đỉnh $A\Rightarrow \Delta BAH$ cân đỉnh B

$\Rightarrow \widehat{BHA}=\widehat{BAH}$

mà $\widehat{BAH}=\widehat{DIA}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

$\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{DIA}$ (**)

Từ (*) và (**) $BDIH$ là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau nên

$BDIH$ là hình thang cân (đpcm).