a) Chứng minh rằng $AM\bot SB$ và $SM.SB=SN.SC=SP.SD$

 

Ta có:

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}BC\bot SA\\BC\bot AB\end{cases}\to BC\bot \left(SAB\right)\to BC \bot AM$

$\begin{cases}AM \bot BC\\AM \bot SC\end{cases} \to AM \bot \left(SBC\right) \to AM \bot SB$

 

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{cases}\to CD \bot \left(SAD\right)\to CD \bot AP$

$\begin{cases}AP\bot CD\\AP \bot SC\end{cases}\to AP \bot\left(SCD\right)AP\bot SD$

 

$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAB}=\Delta{SAD}$

$\to\begin{cases}SB=SD=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{3}\\SM=SP=\frac{SA^2}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\end{cases}$

$\to SM.SB=SP.SD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3}=2a^2$

 

$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAC}$ vuông cân tại $A$

$\to N$ là trung điểm $SC$

$\to SN=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}2a=a$

$\to SN.SC=2a.a=2a^2$

 

$\bullet\,\,\,\,\, SM.SB=SN.SC=SP.SD=2a^2$

 

1. b) Chứng minh tứ giác $AMNP$ nội tiếp và có $2$ đường chéo vuông góc

 

Ta có:

$\bullet\,\,\,\,\,AP\bot\left(SCD\right)\to AP\bot NP\to\widehat{APN}=90\circ$

$\bullet\,\,\,\,\,AM\bot\left(SBC\right)\to AM\bot MN\to \widehat{AMN}=90\circ$

 

Tứ giác $AMNP$ có:

$\widehat{APN}+\widehat{AMN}=180\circ$

$\to AMNP$ là tứ giác nội tiếp

 

$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAB}=\Delta{SAD}$

$\to\begin{cases}SM=SP\\AM=AP\end{cases}$

$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SCB}=\Delta{SCD}$

$\to CM=CP$

 

$\begin{cases}SM=SP\\AM=AP\\CM=CP\end{cases}$

$\to\left(SAC\right)$ là mặt phẳng trung trực của $MP$

$\to AN\bot MP$

Vậy tứ giác $AMNP$ có 2 đường chéo $AN$ và $MP$ vuông góc với nhau

 

 

1. c) Tính diện tích $AMNP$

 

Tứ giác $AMNP$ có 2 đường chéo vuông góc với nhau

$\to S_{AMNP}=\dfrac{1}{2}AN.MP$

 

$\bullet\,\,\,\,\,AN=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}.2a=a$

$\bullet\,\,\,\,\,\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{MP}{BD}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )

$\to MP=\dfrac{SM.BD}{SB}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$

 

$\bullet\,\,\,\,\,S_{AMNP}=\dfrac{1}{2}.a.\frac{2a\sqrt{2}}{3}=\dfrac{a^2\sqrt{2}}{3}$