a) Ta có $MD \perp AB$, $ME \perp AC$, $\widehat{DAE} = 90^{\circ}$. Vậy tứ giác ADME có 3 góc vuông, do đó là hình chữ nhật.

b) Ta có MD $\perp$ AB, $CA \perp AB$ nên $MD // AC$. Lại có M là trung điểm BC nên MD là đường trung bình của tam giác ABC. Vậy D là trung điểm của AB.

c) Do MD là đường trung bình của tam giác ABC nên $AC = 2MD$. Lại có D là trung điểm MK nên $MK = 2 MD$. Vậy $AC = MK$ ( = 2MD).

Lại có MK//AC. Do đó tứ giác ACMK là hình bình hành và AM giao CK tại I là trung điểm mỗi đường.

Lại có tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên DE giao MA tại trung điểm mỗi đường, tức là DE qua I. Vậy AM, DE, CK đồng quy tại trugn điểm AM.

d) Dễ thấy rằng MH//DE. Vậy tứ giác MHED là hình thang.

Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có D là trung điểm AB, do đó HD là đường trung tuyến và $HD = DA = DB= \dfrac{1}{2} AB$

Lại có ME là đường trung bình nên $ME = \dfrac{1}{2} AB$.

Vậy $HD = ME$ ($= \dfrac{1}{2} AB$).

Do đó, hình thang DMHE có hai đường chéo HD và ME bằng nhau nên là hình thang cân.

e) Do HD = DA nên tam giác HDA cân tại D, vậy $\widehat{DHA} = \widehat{DAH}$.

Lại có HE là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC vuông tại C nên $HE = EA = EC = \dfrac{1}{2} AC$.

Vậy tam giác AEH cân tại E và $\widehat{EHA} = \widehat{EAH}$.

Vậy ta có

$\widehat{DHA} + \widehat{EHA} = \widehat{DAH} + \widehat{EAH}$

$ \widehat{DHE}= \widehat{BAC} = 90^{\circ}$.

Vậy $\widehat{DHE} = 90^{\circ}$.