Đáp án:

a) XÉt ΔABO và ΔACO vuông tại B và C có:

+AO chung

+) OB=OC

=> ΔABO = ΔACO

=> OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔBOC cân tại O có OA là phân giác

=> OA đồng thời là trung tuyến và đường cao

=> H là trung điểm của BC

=> HB=HC

b)

ΔOHC vuông tại H có:

$\begin{array}{l}
O{H^2} + H{C^2} = O{C^2}\\
 \Rightarrow O{H^2} = {15^2} - {12^2} = 169\\
 \Rightarrow OH = 13\left( {cm} \right)
\end{array}$

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}}\\
 \Rightarrow AB = 20\left( {cm} \right)
\end{array}$

c)

Xét Δ OAK và Δ OMH vuông tại K và H có:góc O chung

=> ΔOAK ~ Δ OMH (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\\
 \Rightarrow OA.OH = OM.OK\left( {dpcm} \right)
\end{array}$