`AB=1;AC=BD=2;\hat{BAC}=120°`

`a)` Ta có:

`\qquad \hat{BAD}+\hat{BAC}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{BAD}=180°-\hat{BAC}=180°-120°=60°`

Áp dụng định lý cosin ta có:

`\quad BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD.cosBAD`

`<=>2^2=1^2+AD^2-2.1.AD.cos60°`

`<=>AD^2-AD-3=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}AD=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\ (nhận)\\AD=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\ (loại)\end{array}\right.$

Vậy `AD={1+\sqrt{13}}/2` (đvđd)

$\\$

`b)` Áp dụng định lý cosin ta có:

+) `BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosBAC`

`BC^2=1^2+2^2-2.1. 2.cos 120°=7`

`=>BC=\sqrt{7}`

+) `AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cosABC`

`=>cosABC={AB^2+BC^2-AC^2}/{2.AB.BC}`

`={1^2+7-2^2}/{2.1.\sqrt{7}}=2/{\sqrt{7}}`

`=>cosABT=2/{\sqrt{7}}`

+) $AT$ là phân giác của `\hat{BAC}`

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

`{BT}/{AB}={CT}/{AC}={BT+CT}/{AB+AC}={BC}/{AB+AC}`

(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{BT}/{AB}={\sqrt{7}}/{1+2}={\sqrt{7}}/3`

`=>BT=\sqrt{7}/3.AB=\sqrt{7}/3`

+) Áp dụng định lý cosin ta có:

`AT^2=AB^2+BT^2-2AB.BT.cosABT`

`AT^2=1^2+7/ 9 - 2.1. \sqrt{7}/3 . 2/{\sqrt{7}}=4/9`

`=>AT=2/ 3`

Vậy `AT=2/ 3 (đvđd)`