a) có vtAB = ( -2 ; 3 )
vtAC =  ( 1; -3 ) 
ta thấy $\frac{-2}{1}$ $\neq$ $\frac{3}{-3}$  nên 2 vt này không cùng phương ⇒  A, B , C không thẳng hàng và tạo nên 1 tam giác ABC
b) Gọi điểm M ( x;y ) là tọa độ chân đường cao hạ từ A 
có AM ⊥ BC ⇔ vtAM.vtBC = 0 
tính : vtAM = ( x-4; y -1 ) . vtBC = ( 3;-6) 
vtAM.vtBC= (x-4).3 - 6.(y-1) = 3x - 6y = 6 (1) 
có vtBM cùng phương với vtBC : vtBM = ( x-2 ; y-4 ) 
$\frac{x-2}{3}$ = $\frac{y-4}{-6}$ ⇒ -6x - 3y = -24 (2) 
giải (1) (2) ta được M ( $\frac{18}{5}$ ; $\frac{4}{5}$ )

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 3} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 2.1 + 3.\left( { - 3} \right) =  - 11 \ne 0
\end{array}$

Vậy A,B,C ko thẳng hàng

b)

Gọi pt đường thẳng BC là y=ax+b

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 = 2a + b\\
 - 2 = 5a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 8
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow y =  - 2x + 8
\end{array}$

Đường cao đi qua A vuông góc với BC=> a=-1/-2=1/2

=> đường cao đi qua A : y=1/2x-1

Gọi pt đường thẳng AC là y=ax+b

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 = 4a + b\\
 - 2 = 5a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 3\\
b = 13
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow y =  - 3x + 13
\end{array}$

Đường cao đi qua B vuông góc với AC=> a=-1/-3=1/3

=> đường cao đi qua B : y=1/3x+10/3

Trực tâm chính là giao điểm của 2 đường cao đi qua A và B

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{3}x + \frac{{10}}{3}\\
y = \frac{1}{2}x - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 26\\
y = 12
\end{array} \right.$

Vậy H(26;12)

Chân đường vuông góc hạ từ A là giao điểm của đường cao đỉnh A và BC

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}x - 1\\
y =  - 2x + 8
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{18}}{5}\\
y = \frac{4}{5}
\end{array} \right.$