Đáp án+Giải thích các bước giải:

`M=\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}(x≥0)`

`M=\frac{x-1+4}{\sqrt{x}+1}`

`M=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{4}{\sqrt{x}+1}`

`M=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}+frac{4}{\sqrt{x}+1}`

`M=\sqrt{x}-1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}`

`M=\sqrt{x}+1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}-2`

Áp dụng bất đẳng thức `Cauchy` cho `2` số dương `\sqrt{x}+1` và `\frac{4}{\sqrt{x}+1}` ta có:

`\sqrt{x}+1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}≥2\sqrt{(\sqrt{x}+1)(\frac{4}{\sqrt{x}+1})}`

`⇔\sqrt{x}+1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}≥4`

`<=>\sqrt{x}+1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}-2≥2`

Dấu `"="` xảy ra khi

`\sqrt{x}+1=\frac{4}{\sqrt{x}+1}`

`<=>(\sqrt{x}+1)^2=4`

`\sqrt{x}≥0∀x≥0`

`⇔\sqrt{x}≥0⇔\sqrt{x}+1≥1⇔(\sqrt{x}+1)^2≥1^2>-2`

`⇒\sqrt{x}+1=2`

`<=>\sqrt{x}=1`

`<=>x=1(tm)`

Vậy `M_{min}=2` đạt được khi `x=1`

------------------------------------------------------

Bđt Cauchy: `\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\root[n]{x_1 .x_2 ....x_n}`

Chú ý các hạng tử phải là số không âm

Thích hợp dùng khi biểu thức cần chứng minh có tổng hoặc tích