Đáp án:

a) Xét tam giác OBC cân tại O có OM là đường cao

=> OM đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác

=> góc BOM = góc COM (đpcm)

b)

Xét Δ OAB và ΔOAC có:

+) OB=OC

+) góc AOB = góc AOC (cmt)

+) OA chung

=> Δ OAB = ΔOAC (c-g-c)

=> góc OBA = góc OCA = 90

=> OC⊥ AC

=> AC là tiếp tuyến của (O)

c) Δ OAB = ΔOAC (cmt)

=> AB= AC 

Xét tam giác OAB vuông tại B có BM là đường cao

Theo Pytago ta có:

$\begin{array}{l}
 + )O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {8^2} - {4^2} = 48\\
 \Rightarrow AB = AC = \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\
 + )BM.OA = OB.AB\\
 \Rightarrow BM = \frac{{OB.AB}}{{OA}} = \frac{{4.4\sqrt 3 }}{8} = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow BC = 2BM = 4\sqrt 3 \\
 \Rightarrow {P_{ABC}} = AB + AC + BC = 4\sqrt 3 .3 = 12\sqrt 3 \left( {cm} \right)
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

 a, Xét ΔOMB và ΔOMC có:

OM chung; OB=OC (= bán kính R); OMB=OMC=90 độ

⇒ ΔOMB = ΔOMC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ góc BOM = góc COM (đpcm)

b, Xét ΔOAC và ΔOAB có:

OA chung; góc AOC = góc AOB (câu a); OC=OB (=R)

⇒ ΔOAC = ΔOAB (c.g.c) ⇒ góc OCA = góc OBA = 90 độ ⇒ AC⊥OC

Vì AC giao với đường tròn tâm O tại C và AC⊥OC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (đpcm)

c, AB = $\sqrt[]{OA^{2}-OB^{2}}$ = $\sqrt[]{8^{2}-4^{2}}$ = = AC (do ΔOAC = ΔOAB)

và MB = OBxAB:OA = 4xa$\sqrt[]{3}$ :8 = $\frac{4\sqrt[]{3}}{2}$  = MC (do ΔOMB = ΔOMC)

nên chu vi ΔABC là: AB + AC+ MC + MB = 12$\sqrt[]{3}$ (cm)