Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Xét Δ IMC và Δ INC có:

IM = IN (gt)

góc IMC = góc INC=90 độ

IC là cạnh chung

⇒ ΔIMC = ΔINC (c.g.c)

b) Ta có ΔIMC = ΔINC (câu a)

⇒CM=CN (2 cạnh tương ứng)

⇒góc MIC = góc NIC (2 góc tương ứng)

Xét ΔABC và ΔAKC

AC là cạnh chung

góc BAC = góc KAC (= 90 độ)

góc ACB = góc ACK (cmt)

⇒ΔABC = ΔAKC (c.g.c)

⇒AB=AK (2 cạnh tương ứng)

⇒CB=CK (2 cạnh tương ứng)

⇒CB/2=CK/2

mà AM=CB/2

⇒AM=CK/2

mà Am=AN (cmt)

⇒AN=CK/2

⇒N là trung điểm của CK

c) Xét ΔABM và ΔEMC

AM=ME (gt)

góc AMB= góc EMC (2 góc đối đỉnh)

BM=MC (gt)

⇒ΔABM = ΔEMC (c.g.c)

⇒AB=EC (2 cạnh tương ứng)

⇒góc ABM= góc MCE (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

⇒AB//EC

d) Vì AB//EC mà AB⊥AC

⇒EC⊥AC (tính chất từ vuông góc đến song song)

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tyến ứng với cạnh hyền và bằng nữa cạnh huyền

⇒AM=AB/2

mà BM=MC=AB/2

⇒BM=CM=AM

Xét ΔAMI và ΔCMI

góc  AIM = góc CIM (= 90 độ)

MI là cạnh chung

AM=MC (cmt)

⇒ΔAMI = ΔCMI (cạnh huyền-góc vuông)

⇒AI=IC (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAIK và ΔCIK

AI=IC (cmt)

AK=EC (cung bằng AB)

góc KAI = góc ECI (= 90 độ)

⇒ ΔAIK = ΔCIK (c.g.c)

⇒$\widehat{AIK}$ = $\widehat{EIC}$  (2 góc tương ứng)

Ta có $\widehat{AIE}$ + $\widehat{EIC}$  = 180 độ (2 góc kề bù)

mà $\widehat{AIK}$ = $\widehat{EIC}$ (cmt)

⇒$\widehat{AIE}$+$\widehat{AIK}$ = 180 độ

⇒ $\widehat{KIE}$ = 180 độ

⇒E,I,K thẳng hàng

⇒đpcm