Đáp án:

1) \(3x + 4y - 13 = 0\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
1)\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;3} \right)\\
 \to vtpt:\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)
\end{array}\)

Phương trình đường thẳng đi qua B(3;1) và \(vtpt:\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\)

\(\begin{array}{l}
3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0\\
 \to 3x + 4y - 13 = 0
\end{array}\)

\(2)\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right)\)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống AC

Do BH⊥AC

\( \to vtpt:{\overrightarrow n _{BH}} = \overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right)\)

Phương trình đường thẳng BH đi qua B(3;1) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _{BH}} = \left( { - 3;5} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 - 3\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\\
 \to  - 3x + 5y + 4 = 0
\end{array}\)

3) Do đường thẳng đi qua A và song song với (d)

\( \to vtpt:\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua A(2;-1) và có \(vtpt:\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\)

\(\begin{array}{l}
3\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y + 1} \right) = 0\\
 \to 3x - 4y - 10=0
\end{array}\)

4) Do đường thẳng đi qua A và vuông góc (Δ)

\( \to vtpt:\overrightarrow n  = vtcp:{\overrightarrow u _\Delta } = \left( { - 3;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua A(2;-1) và có \(vtpt:\overrightarrow n  = \left( {-3; 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 - 3\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\\
 \to  - 3x + y + 7 = 0
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
5) \to vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3; - 4} \right) \to \left| {{{\overrightarrow n }_d}} \right| = 5\\
vtpt:{\overrightarrow n _\Delta } = \left( {1;3} \right) \to \left| {{{\overrightarrow n }_\Delta }} \right| = \sqrt {10} \\
 \to \cos \left( {d;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_d}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_d}} \right|}}\\
 = \dfrac{{\left| {3.1 - 4.3} \right|}}{{5.\sqrt {10} }} = \dfrac{9}{{5\sqrt {10} }}
\end{array}\)