Ta có $HE \perp AE$, $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$, $HD \perp AD$. Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật, do đó AH = ED.

Mặt khác, áp dụng HTL ta có

$AH^2 = BH.CH = 36$

Vậy $DE = AH = 6$ (cm).

Ta có

$\tan B = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{3}{2}$

Vậy $B = \arctan (\dfrac{3}{2})$.

Lại có

$\tan C = \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{2}{3}$

Vậy $C = \arctan(\dfrac{2}{3})$.

b) Áp dụng HTL trong tam giác vuoogn AHB ta có

$AD.AB = AH^2$.

Tương tự với tam giác AHC ta có $AE.AC = AH^2$.

Vậy $AD.AB = AE.AC$ ($= AH^2$).

c) Gọi AH cắt DE tại I.

Do tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên tam giác IHD cân tại I và $\widehat{IHD} = \widehat{IDH}$

Do M là trung điểm BH nên DM là đường trung tuyến của tam giác vuông DHB, do đó $DM = MH = BH = \dfrac{1}{2} BH$

Vậy tam giác DMH cân tại M và $\widehat{MDH} = \widehat{MHD}$

Do đó

$\widehat{IDH} + \widehat{HDM} = \widehat{IHD} + \widehat{MHD}$

$ \widehat{EDM} = \widehat{AHB} = 90^{\circ}$

Vậy $DM \perp ED$.

CMTT ta cũng suy ra $\widehat{NED} = 90^{\circ}$ hay $NE \perp ED$.

Vậy tứ giác MDEN là hình thang vuông.

d) Do tứ giác DENM là hình thang vuông tại D và E nên DE là đường cao của hình thang và bằng 6(cm).

Mặt khác, lại có $DM = \dfrac{1}{2} BH = 2$ (cm), $NE = \dfrac{1}{2} CH = \dfrac{9}{2}$ (cm)

Vậy diện tích của tứ giác DMNE là

$S_{DMNE} = (DM+NE) . DE:2 = \dfrac{39}{2}$ ($cm^2$).