$\\$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\\$

`a)`

Vì `D` là hình chiếu của `H` trên `AB` (gt) `->HD⊥AB`

Vì `E` là hình chiếu của `H` trên `AB` (gt) `->HE⊥AB`

Vì `ΔABC` vuông tại `A` (gt) `->AB⊥AC`

Xét tứ giác `ADHE` có:

`HD⊥AB` (chứng minh trên)

`HE⊥AB` (chứng minh trên)

`AB⊥AC` (chứng minh trên)

Do đó tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Vậy tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật

$\\$

`b)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

`BC^2=AB^2+AC^2` (định lí Py - ta - go)

Mà `AB=6` `cm` (gt)

`AC=8` `cm` (gt)

`->BC^2=6^2+8^2`

             `=36+48`

             `=100`

`->BC=10` (cm) (`BC>0`)

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có `M` là trung điểm `BC` (gt) `->AM` là đường trung tuyến từ đỉnh `A` ứng với cạnh huyền `BC` 

`->AM =(BC)/2` (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) `(**)`

Mà `BC=10cm` (chứng minh trên)

`->AM=10/2`

`->AM=5` `(cm)`

Vậy `AM=5` `cm`

$\\$

`c)` Gọi `F=DE∩AH`

Gọi `G=DE∩AM`

Vì `M` là trung điểm `BC` (gt)

Nên `MB=MC=(BC)/2`

Lại có `AM=(BC)/2` (chứng minh phần `(**)` câu `b`)\

`=>MB=MC=AM` 

`->ΔAMC` cân tại `M` nên

`+) hat(MAC)=hat(MCA)` (tính chất tam giác cân) (1)

Vì `AH` là đường cao `->hat(AHB)=90^@`

`->ΔAHB` vuông tại `H`

`->hat(HAB)+hat(ABC)=90^@` (tính chất tam giác vuông) 

Lại có: `hat(MCA)+hat(MBA)=90^@` do `ΔABC` vuông (tính chất tam giác vuông) 

hay `hat(MCA)+hat(ABC)=90^@`

`=>hat(HAB)=hat(MCA)` (2)

Do `DHAE` là hình chữ nhật (chứng minh câu `a`) 

`->DF=AF` (tính chất hình chữ nhật)

`->ΔDFA` cân tại `F`

`->hat(HAD)=hat(ADE)` (tính chất tam giác cân)  

hay `hat(HAB)=hat(ADE)` (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra `hat(MAC)=hat(MCA) = hat(HAB)=hat(ADE)`

`->hat(MAC)=hat(ADE)` (4)

Do `ΔABC` vuông tại `A` (gt) `->hat(A)=90^@`

`->ΔDAE` vuông tại `A`

`->hat(ADE)+hat(AED)=90^@` (5)

Từ (4) và (5) suy ra: `hat(MAC)+hat(AED)=90^@`

hay `hat(GAE)+hat(GEA)=90^@`

`=>ΔGAE` vuông tại `G` (dấu hiệu nhận biết tam giác vuông)

`->hat(AGE)=90^@`

`->AM⊥DE` (đpcm)