a) Ta có $BN$ và $CP$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow N$ và $P$ lần lượt là trung điểm cạnh $AB$ và $AC$

$\Rightarrow PN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow PN\parallel BC$ hay $PN\parallel CF$

Mà $NF\parallel CP$ (cách dựng)

$\Rightarrow CPNF$ là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)

 

b) Ta có: $FD\parallel BN$ (cách dựng)

$NF\parallel BD$ (vì cùng $\parallel PC$)

$\Rightarrow BDFN$ là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)

 

c) Do $CPNF$ là hình bình hành

$\Rightarrow NF\parallel=PC$ (1)

Do $BDFN$ là hình bình hành

$\Rightarrow NF\parallel=BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $PC\parallel=BD$

$\Rightarrow BPCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ thì $M$ cũng là trung điểm của $PD$

$\Rightarrow P,M,D$ thẳng hàng

Mà $PM\parallel AC$ (do $PM$ là đường trung bình $\Delta ABC$)

$\Rightarrow PD\parallel NC$

$\Rightarrow PNCD$ là hình thang

 

d) Ta có $PM=AN$ (vì $PM$ là đường trung bình $\Delta ABC$, $PM=\dfrac{1}{2}AC=AN$)

mà $PM=MD$

$\Rightarrow AN=MD$ và $An\parallel MD$ (vì $PD\parallel NC$)

$\Rightarrow ANDM$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM=DN$ (đpcm)

 

e) Để $PNCD$ là hình thang cân thì $PC=DN$

$\Rightarrow PC=AM$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $B$.