Đường cao $(CH):x+3y-8=0$

Đường trung tuyến $(CM):x+5y-14=0$

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

$\quad \begin{cases}x+3y-8=0\\x+5y-14=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x=8-3y\\8-3y+5y-14=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x=8-3y\\2y=6\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$

`=>C(-1;3)`

$A(5;5);C(-1;3)$

`=>VTCP \vec{u}_{AC}=(-6;-2)`

`=>VTPT \ \vec{n}_{AC}=(1;-3)`

Phương trình đường thẳng $AC$ đi qua $A(5;5)$ có `\vec{n}_{AC}=(1;-3)` là:

`\qquad 1(x-5)-3.(y-5)=0`

`<=>x-3y+10=0`

$\\$

$CH:x+3y-8=0$ là đường cao của $∆ABC$

`=>CH`$\perp AB$

`=>(AB)` nhận $VTPT\ (1;3)$ của $(CH)$ là $VTCP$

`=>VTCP \vec{u}_{AB}=(1;3)`

`=>VTPT \ \vec{n}_{AB}=(3;-1)`

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(5;5)$ có `\vec{n}_{AB}=(3;-1)` là:

`\qquad 3(x-5)-1.(y-5)=0`

`<=>3x-y-10=0`

$\\$

$M$ là giao điểm của $(CM)x+5y-14=0$ và $(AB):3x-y-10=0$ nên tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}x+5y-14=0\\3x-y-10=0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x+5(3x-10)-14=0\\y=3x-10\end{cases}$

$⇔\begin{cases}16x=64\\y=3x-10\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$

`=>M(4;2)`

$CM$ là trung tuyến $∆ABC$

`=>M` là trung điểm $AB$

`=>x_M={x_A+x_B}/2`

`=>x_B=2x_M-x_A=2.4-5=3`

`\qquad y_M={y_A+y_B}/2`

`=>y_B=2y_M-y_A=2.2-5=-1`

`=>B(3;-1)`

$\\$

$B(3;-1);C(-1;3)$

`=>VTCP \vec{u}_{BC}=(-4;4)`

`=>VTPT \ \vec{n}_{BC}=(1;1)`

Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $B(3;-1)$ có `\vec{n}_{BC}=(1;1)` là:

`\qquad 1(x-3)+1.(y+1)=0`

`<=>x+y-2=0`

Vậy: $(AB):3x-y-10=0$

`\qquad (AC):x-3y+10=0`

`\qquad (BC):x+y-2=0`

$CH:x+3y-8=0$

$CH\bot AB\to \overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 3;-1 \right)$

 

Phương trình đường thẳng $AB$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 3;-1 \right)$ và đi qua $A\left( 5;5 \right)$ có dạng:

$AB:3\left( x-5 \right)-\left( y-5 \right)=0$

$AB:3x-y-10=0$

 

$M=AB\cap CM$

$M=\begin{cases}3x-y-10=0\\x+5y-14=0\end{cases}\to\,\,\,\,\,M\left(4;2\right)$

 

$C=CH\cap CM$

$C=\begin{cases}x+3y-8=0\\x+5y-14=0\end{cases}\to\,\,\,\,\,C\left(-1;3\right)$

 

$M$ là trung điểm $AB$

$\to\begin{cases}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}x_B=2x_M-x_A\\y_B=2y_M-y_A\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}x_B=3\\y_B=-1\end{cases}\to\,\,\,\,\,B\left(3;-1\right)$

 

$\begin{cases}A\left(5;5\right)\\B\left(3;-1\right)\\C\left(-1;3\right)\end{cases}\to\begin{cases}\overrightarrow{AC}=\left(-6;-2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-4;4\right)\end{cases}\to\begin{cases}VTPT\overrightarrow{n_{AC}}=\left(2;-6\right)\\VTPT\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4;4\right)\end{cases}$

 

Phương trình đường thẳng $AC$ có $\overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 2;-6 \right)$ và đi qua $C\left( -1;3 \right)$ có dạng:

$AC:\,\,\,2\left( x+1 \right)-6\left( y-3 \right)=0$

$AC:\,\,\,2x-6y+20=0$

$AC:\,\,\,x-3y+10=0$

 

Phương trình đường thẳng $BC$ có $\overrightarrow{{{n}_{BC}}}=\left( 4;4 \right)$ và đi qua $C\left( -1;3 \right)$ có dạng:

$BC:4\left( x+1 \right)+4\left( y-3 \right)=0$

$BC:4x+4y-8=0$

$BC:x+y-2=0$