Đáp án:

 a)$m\ge0$

 b) $m\ge 2$

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $0\le x\le2$

Đặt $\sqrt{x(2-x)}=t(t\ge 0)\Rightarrow t^2=-x^2+2x=-(x-1)^2+1\le1\Leftrightarrow t\le 1$

Bất phương trình đề cho trở thành: $t+m+3\ge -t^2+5\Leftrightarrow t^2+t+m-2\ge 0$ có nghiệm với $t\in[0;1]$

Để bất phương trình có nghiệm thì ta xét hai trường hợp: $\Delta \ge0$ và $\Delta<0$

$\Delta \le 0⇔1-4(m-2)\le 0⇔9-4m\le 0⇔m<\dfrac{9}{4}$. Lúc này bất phương trình có nghiệm $\forall t\in\mathbb{R}$ nên có nghiệm trong $t\in[0;1]$

$\Delta > 0⇔1-4(m-2) > 0\Leftrightarrow m<\dfrac{9}{4}$. Tập nghiệm của phương trình lúc này là $S=(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)$ (giả sử, $x_1\le x_2$). Để cho phương trình có nghiệm thì$S\cap[0;1]\ne∅$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \frac{{ - 1 - \sqrt {9 - 4m} }}{2} > 0\\ \frac{{ - 1 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {9 - 4m}  \le  - 1(L)\\ \sqrt {9 - 4m}  \le3 \Leftrightarrow m \ge 0 \end{array} \right.$

Giao hai TH lại để cho phương trình có nghiệm thì $m\ge0$

CâuB: Do sai ĐKXĐ nên mình xin sửa đề lại thành tìm m để cho bất phương trình có nghiệm với mọi $x\in[0;2]$

$t^2+t+m-2\ge 0$ có nghiệm đúng $\forall x\in[0;2]$⇒$\forall t\in[0;1]$

Yêu cầu bài toán⇔$m \ge -t^2-t+2$ $\forall t\in[0;1]$

\[ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{[0;1]} ( - {t^2} - t + 2)\]

$\Rightarrow m\ge2$

P/s: Mình giải hơi trễ xin lỗi bạn