a) Giả sử $a, b \in S$. KHi đó, tồn tại các số nguyên $u, v, z, t$ sao cho

$a = u^2 + 3v^2, b = z^2 + 3t^2$.

Khi đó, ta có

$ab = (u^2 + 3v^2)(z^2 + 3t^2)$

$= u^2(z^2 + 3t^2) + 3v^2 (z^2 + 3t^2)$

$= (u \sqrt{z^2 + 3t^2})^2 + 3(v\sqrt{z^2 + 3t^2})^2$

Đặt $x = u \sqrt{z^2 + 3t^2}$, $y = v\sqrt{z^2 + 3t^2}$. Khi đó, ta có

$ab = x^2 + 3y^2$.

Vậy $ab \in S$.

b) Do $N \in S$ nên tồn tại 2 số nguyên $x, y$ sao cho

$N = x^2 + 3y^2$

Do N là số chẵn nên cặp số $(x,y)$ có thể nhận các giá trị là (chẵn, chẵn) hoặc (lẻ, lẻ).

TH1: (x,y) là (chẵn, chẵn).

Khi đó, tồn tại các số nguyên m, n sao cho $x = 2m$ và $y = 2n$. Khi đó

$N = (2m)^2 + 3(2n)^2$

$ = 4m^2 + 3(4n^2) $

$= 4(m^2) + 4.3n^2 = 4(m^2 + 3n^2)$

Vậy N chia hết cho 4. Hơn nữa

$\dfrac{N}{4} = m^2 + 3n^2 \in S$.

TH2: (x,y) là (lẻ, lẻ)

Khi đó, tồn tại các số nguyên p, q sao cho $x = 2p+1$ và $y = 2q + 1$. Khi đó

$N = (2p+1)^2 + 3(2q+1)^2$

$= 4p^2 + 4p + 1 + 3(4q^2 + 4q + 1)$

$= 4p^2 + 12q^2 + 4p + 12q + 1 + 3$

$= 4p^2 + 12q^2 + 4p + 12q + 4$

$= 4(p^2 + 3q^2 + p + 3q+1)$

Vậy $N$ chia hết cho 4. Hơn nữa, ta có

$\dfrac{N}{4} = p^2 + 3q^2 + p + 3q+1$

$= p^2 + p + \dfrac{1}{4} + 3(q^2 + q + \dfrac{1}{4})$

$= (p+\dfrac{1}{2})^2 + 3(q + \dfrac{1}{2})^2$

Đặt $m = p+\dfrac{1}{2}, n = q + \dfrac{1}{2}$. KHi đó ta có

$\dfrac{N}{4} = m^2 + 3n^2$

Vậy $\dfrac{N}{4} \in S$.

Trong cả 2 trường hợp, khẳng định này đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh