Giải thích các bước giải:

pt <=> $2^x.x^2=(3y+1)^2+87$ (1)

Ta thấy:

$(3y+1)^2+87$ chia 3 dư 1

=> $2^x.x^2$ chia 3 dư 1

mà $x^2$ chia 3 dư 1 (các số chính phương chia 3 luôn dư 1)

=> $2^x$ chia 3 dư 1

Ta thấy:

$2^x=(3-1)^x$

Theo định lí nhị thức, khi tách $(3-1)^x$ thì các hạng tử đều chia hết cho 3 và hạng tử $1^x$ thì không chia hết cho 3 nên:

$2^x=3k±1$ 

Với x không chia hết cho 2 thì $2^x=3k-1=3k+2$ (vô lí)

Với x chia hết cho 2 thì $2^x=3k+1$ (thỏa mãn)

Đặt $x=2t$ $(t ∈ N)$

Thay vào x=2t vào (1), ta được :

$2^{2t}.2t^2=(3y+1)^2+87$

<=> $2^{2t}.2t^2-(3y+1)^2=87$

<=> $(2^t.2t+3y+1)(2^t.2t-3y-1)=87$

Vì $y,t ∈ N$ nên $2^t.2t+3y+1>2^t.2t-3y-1>0$ và $2^t.2t+3y+1 ; 2^t.2t-3y-1 ∈ N$

Do đó có 2 trường hợp:

TH1:

$\left \{ {{2^t.2t+3y+1=87} \atop {2^t.2t-3y-1=1}} \right.$ <=> $\left \{ {{2^t.2t=44} \atop {3y+1=43}} \right.$ <=> $\left \{ {{2^{t-1}.t=11} \atop {y=14}} \right.$

$2^{t-1}.t=11$

=> t ⋮ 11

=> t≥11

=> $2^{t-1}.t$ ≥ 11264 (vô lí)

TH2:

$\left \{ {{2^t.2t+3y+1=29} \atop {2^t.2t-3y-1=3}} \right.$ <=> $\left \{ {{2^t.2t=16} \atop {3y+1=13}} \right.$ <=> $\left \{ {{t=2} \atop {y=4}} \right.$

Vậy $x=2t=2.2=4$ và $y=4$.

@Deawoo
Xin câu trả lời hay nhất