a)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A, AH$ là đường cao ta có:

$AB^2=BH.BC=2.8=16\Rightarrow AB=6$cm

$CH=BC-BH=8-2=6cm$

$AH^2=BH.CH=2.6=12\Rightarrow AH=2\sqrt3$cm

$AC^2=CH.CB=6.8=48\Rightarrow AC=4\sqrt3$cm

b)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABK\bot A, AD$ là đường cao ta có:

$AB^2=BD.BK$

mà $AB^2=BH.BC$ (theo câu a)

$\Rightarrow BD.BK=BH.BC$ (điều phải chứng minh)

c)

Áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác bằng $\dfrac12$ tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A$ (hình 2)

Thật vậy:

$S_{ABC}=\dfrac12.CH.AB=\dfrac12.AB.AC.\dfrac{CH}{AC}=\dfrac12.AB.AC.\sin A$

Ta áp dụng công thức tính diện tích tam giác đã chứng minh ở trên:

$S_{BHD}=\dfrac12BH.BD.\sin\widehat{DBH}$

$S_{KBC}=\dfrac12BK.BC\sin\widehat{KBC}$

$\widehat{DBH}=\widehat{KBC}$ cùng là một góc

$\Rightarrow\dfrac{S_{BHD}}{S_{KBC}}=\dfrac{BH.BD}{BK.BC}$

$=\dfrac28.\dfrac{BD}{BK}=\dfrac14.\dfrac{BD^2}{BK.BD}$

$=\dfrac14\dfrac{BD^2}{AB^2}$

$=\dfrac14\cos^2\widehat{ABD}$

$\Rightarrow S_{BHD}=\dfrac14.S_{KBC}.\cos^2\widehat{ABD}$