Đáp án:

a) \(4x + 2y - 1 = 0\).

b) \(y - z + 1 = 0\)

c) \(\left( \alpha \right):\,\,\,x - y = 0\)

d) \(\left( \beta \right):\,\,x - y = 0\)

e) Trực tâm \(H\left( {5;0;1} \right)\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\).

h) \( - y + z - 1 = 0\)

f) \(z - 2 = 0\).

Giải thích các bước giải:

a) \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 2; - 1;0} \right)\).

Gọi I là trung điểm của AD \( \Rightarrow I\left( {0;\dfrac{1}{2};2} \right)\).

Mặt phẳng trung trực của AD đi qua I và nhận \(\overrightarrow {AD} \) làm 1 VTPT có phương trình:

\(\begin{array}{l} - 2\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 1 = 0\end{array}\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;1; - 1} \right) = \overrightarrow n {  _{\left( {ABC} \right)}}\).

Vậy phương trình mặt phẳng ABC là:

\(1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\).

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {CD} = \left( { - 2; - 2; - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 1;1;0} \right)\).

Mặt phẳng đi qua A, B và // CD nhận \(\left( { - 1;1;0} \right)\) là 1 VTPT có phương trình:

\(\begin{array}{l} - 1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y = 0\\ \Rightarrow \left( \alpha  \right):\,\,\,x - y = 0\end{array}\)

d) Mặt phẳng song song với AB, CD nhận \(\left( { - 1;1;0} \right)\) là 1 VTPT

\( \Rightarrow \left( \beta  \right):\,\, - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\).

e) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in \left( {ABC} \right)\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z + 1 = 0\\\left( {x - 1;y - 1;z - 2} \right).\left( {1;2;2} \right) = 0\\\left( {x;y;z - 1} \right).\left( {0;1;1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z + 1 = 0\\x - 1 + 2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\\y + 1\left( {z - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z + 1 = 0\\x + 2y + 2z - 7 = 0\\y + z - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {5;0;1} \right)\end{array}\)

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ABC} \right)\\IA = IB = IC\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ABC} \right)\\I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z + 1 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z + 1 = 0\\ - 2x - 2y - 2z + 5 = 0\\2x + 4y + 4z - 13 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{2}\\y = \dfrac{3}{2}\\z = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\).

h) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A, B và song song với Ox nhận \(\left( {0; - 1;1} \right)\) là 1 VTPT có phương trình:

\( - 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - y + z - 1 = 0\).

f) Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

(P) // (Oxy) nên pt mp (P) có dạng z + c = 0 \(\left( {c \ne 0} \right)\).

(P) đi qua D(-1;0;2) nên ta có \(2 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2\).

Vậy \(\left( P \right):\,\,z - 2 = 0\).