Giải thích các bước giải:

Câu 4:

a. Vì M,N là trung điểm AB,BC

-> MN là đường trung bình 

->MN // AC , MN=$\frac{1}{2}$ AC  (1)

Vì P,Q là trung điểm AD,DC

-> PQ là đường trung bình 

->PQ // AC , PQ=$\frac{1}{2}$ AC   (2)

Từ (1),(2) 

-> MN//PQ,MN=PQ

-> MNPQ là hình bình hành

Vì M,Q là trung điểm AB,AD

-> MQ là đường trung bình 

->MQ // BD, MQ=$\frac{1}{2}$ BD

Vì MN//AC mà AC⊥BD -> MN⊥BD

-> MQ⊥MN 

mà MNPQ là hình bình hành

-> MNPQ là hình chữ nhật 

b. Giả sử MNPQ là hình vuông

-> MQ=MN

mà MQ=$\frac{1}{2}$ BD, MN=$\frac{1}{2}$ AC

-> BD=AC

Vậy để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD có 2 đường chéo BD,AC bằng nhau và vuông góc

Câu 5: 

a. Vì tam giác ABC vuông ở A có đường trung tuyến AM

-> AM=$\frac{BC}{2}$ =$\frac{15}{2}$=7,5cm

Tam giác ABC vuông ở A -> AC²=BC²-AB²=15²-9²=144 -> AC=12cm

\({S_{AMB}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.9.12 = 27c{m^2}\) 

b. Vì góc DAE=90

MD//AC mà AC⊥AB -> MD⊥AB -> góc MDA=90

ME//AB mà AC⊥AB -> ME⊥AC -> góc MEA=90

-> góc DAE=góc MDA=góc MEA=90

-> ADME là hình chữ nhật

c. Kẻ AH ⊥ BC tại H

Vì ADME là hình chữ nhật -> AM=DE

Xét tam giác AHM vuông ở H

-> AM≥AH 

Vậy để DE nhỏ nhất <-> AM nhỏ nhất <-> AM=AH 

-> M≡H 

Vậy để DE có độ dài nhỏ nhất thì M là chân đường cao hạ từ A xuống BC