Đáp án:

a)  H là hình chiếu của A lên (Δ)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)vtcp:{\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} = \left( {2;1} \right)\\
 \to vtpt:{\overrightarrow n _{\left( \Delta  \right)}} = \left( {1; - 2} \right)\\
 \to PTTQ:\left( \Delta  \right):x + 4 - 2\left( {y - 1} \right) = 0\\
 \to x - 2y + 6 = 0\\
Xét:x = 2;y = 4\\
 \to 2 - 2.4 + 6 = 0\\
 \to 0 = 0\left( {ld} \right)\\
 \to H \in \left( \Delta  \right)\\
 \to \overrightarrow {AH}  = \left( { - 3;6} \right)\\
 \to \overrightarrow {AH} .{\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} =  - 3.2 + 6.1 = 0\\
 \to AH \bot \left( \Delta  \right)
\end{array}\)

⇒ H là hình chiếu của A lên (Δ)

\(\begin{array}{l}
b)PTTQ:\left( \Delta  \right):x + 4 - 2\left( {y - 1} \right) = 0\\
 \to x - 2y + 6 = 0
\end{array}\)

c) Do đường thẳng (D) đối xứng với đường thẳng (Δ) qua điểm A nên đường thẳng (D) song song với đường thẳng (Δ).

⇒ Đường thẳng (D) có dạng: x - 2y + c = 0 ( c ≠ 6) .

+ Lấy điểm B(-4; 1) thuộc đường thẳng (Δ)

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua A thì A là trung điểm của BB’

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} - 4 = 10\\
{y_{B'}} + 1 =  - 4
\end{array} \right.\\
 \to B'\left( {14; - 5} \right)\\
 \to Thay:x = 14;y =  - 5\\
 \to \left( D \right):14 - 2.\left( { - 5} \right) + c = 0\\
 \to c =  - 24\\
 \to \left( D \right):x - 2y - 24 = 0
\end{array}\)