Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Kẻ đường chéo AC

Xét ΔBAC có

E là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EF//AC và EF=AC2EF=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔDAC có

G là trung điểm của CD(gt)

H là trung điểm của AD(gt)

Do đó: GH là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒GH//AC và GH=AC2GH=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra GH//EF và GH=EF

Xét tứ giác EFGH có GH//EF và GH=EF

nên EFGH là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: E là trung điểm của AB(gt)

⇒EA=EB=AB2EA=EB=AB2

Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)

⇒AD2=BC2AD2=BC2

hay AH=BF

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔEBF vuông tại B có

EA=EB(cmt)

AH=BF(cmt)

Do đó: ΔEAH=ΔEBF(hai cạnh góc vuông)

⇒EH=EF(hai cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành EHGF có EH=EF(cmt)

nên EHGF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Giải thích các bước giải:

a) Ta có tứ giác ABCD là hình thoi

=> AC⊥BD

Xét ΔABC có E và H là trung điểm của AB và BC

=> EH là đường trung bình của ΔABC

=> EH//AC và EH=AC/2

Xét ΔACD có F và G là trung điểm của AD và CD

=> FG là đường trung bình của ΔACD

=>FG//AC và FG=AC/2

=> EH=FG và EH//FG

Xét ΔABD có E và F là trung điểm của AB và AD

=>EF là đường trung bình của ΔABD

=>EF//BD

Mà CA⊥BD

=> EF⊥AC

Mà EH//AC

=> EH⊥EF

Xét tứ giác EFGH có EH//FG và EH=FG

=>Tứ giác EFGH là hbh

Mặt khác có góc HEF=90

=>Tứ giác EFGH là hcn

b) Xét hình thoi ABCD có H và F là trung điểm của BC và AD

=> HF là đường trung bình của hình thoi ABCD

=>HF=CD và HF//CD

Xét ΔAGD có KF//GD

Áp dụng Talet ta có:

$\frac{KF}{GD}$= $\frac{AF}{AD}$= $\frac{1}{2}$

=>GD=2KF

Mà CD=HF=2GD

=> HF=4KF(dpcm)